Как найти сумму геометрической прогрессии если известен. Формула суммы n первых членов ГП. Сумма членов геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.
Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, … .
Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.
Монотонная и постоянная последовательность
Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q. Например, b1=4, q=-2. Эти два условия задают геометрическую прогрессию 4, -8, 16, -32, … .
Если q>0 (q не равно 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Например, последовательность, 2, 4,8,16,32, … является монотонно возрастающей последовательностью (b1=2, q=2).
Если в геометрической погрешности знаменатель q=1, то все члены геометрической прогрессии будут равны между собой. В таких случаях говорят, что прогрессия является постоянной последовательностью.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии
Для того, чтобы числовая последовательность (bn) являлась геометрической прогрессией необходимо, чтобы каждый её член, начиная со второго, являлся средним геометрическим соседних членов. То есть необходимо выполнение следующего уравнения
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2),для любого n>0, где n принадлежит множеству натуральных чисел N.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии имеет вид:
bn=b1*q^(n-1),
где n принадлежит множеству натуральных чисел N.
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
Sn = (bn*q - b1)/(q-1), где q не равно 1.
Рассмотрим простой пример:
В геометрической прогрессии b1=6, q=3, n=8 найти Sn.
Для нахождения S8 воспользуемся формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии.
S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19 680.
Рассмотрим некоторый ряд.
7 28 112 448 1792...
Совершенно ясно видно, что значение любого его элемента больше предыдущего ровно в четыре раза. Значит, данный ряд является прогрессией.
Геометрической прогрессиейименуется бесконечная последовательность чисел, главной особенностью которой является то, что следующее число получается из предыдущего посредством умножения на какое-то определенное число. Это выражается следующей формулой.
a z +1 =a z ·q, где z - номер выбранного элемента.
Соответственно, z ∈ N.
Период, когда в школе изучается геометрическая прогрессия - 9 класс. Примеры помогут разобраться в понятии:
0.25 0.125 0.0625...
Исходя из этой формулы, знаменатель прогрессии возможно найти следующим образом:
Ни q, ни b z не могут равняться нулю. Так же каждый из элементов прогрессии не должен равняться нулю.
Соответственно, чтобы узнать следующее число ряда, нужно умножить последнее на q.
Чтобы задать данную прогрессию, необходимо указать первый ее элемент и знаменатель. После этого возможно нахождение любого из последующих членов и их суммы.
Разновидности
В зависимости от q и a 1, данная прогрессия разделяется на несколько видов:
- Если и a 1 , и q больше единицы, то такая последовательность - возрастающая с каждым следующим элементом геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.
Пример: a 1 =3, q=2 - оба параметра больше единицы.
Тогда числовая последовательность может быть записана так:
3 6 12 24 48 ...
- Если |q| меньше единицы, то есть, умножение на него эквивалентно делению, то прогрессия с подобными условиями - убывающая геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.
Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 больше единицы, q - меньше.
Тогда числовую последовательность можно записать таким образом:
6 2 2/3 ... - любой элемент больше элемента, следующего за ним, в 3 раза.
- Знакопеременная. Если q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Пример: a 1 = -3 , q = -2 - оба параметра меньше нуля.
Тогда числовую последовательность можно записать так:
3, 6, -12, 24,...
Формулы
Для удобного использования геометрических прогрессий существует множество формул:
- Формула z-го члена. Позволяет рассчитать элемент, стоящий под конкретным номером без расчета предыдущих чисел.
Пример: q = 3, a 1 = 4. Требуется посчитать четвертый элемент прогрессии.
Решение: a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Сумма первых элементов, чье количество равно z . Позволяет рассчитать сумму всех элементов последовательности до a z включительно.
Так как (1- q ) стоит в знаменателе, то (1 - q) ≠ 0, следовательно, q не равно 1.
Замечание: если бы q=1, то прогрессия представляла бы собой ряд из бесконечно повторяющегося числа.
Сумма геометрической прогрессии, примеры: a 1 = 2, q = -2. Посчитать S 5 .
Решение: S 5 = 22 - расчет по формуле.
- Сумма, если | q | < 1 и если z стремится к бесконечности.
Пример: a 1 = 2 , q = 0.5. Найти сумму.
Решение: S z = 2 · = 4
S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Некоторые свойства:
- Характеристическое свойство. Если следующее условие выполняется для любого z , то заданный числовой ряд - геометрическая прогрессия:
a z 2 = a z -1 · a z+1
- Так же квадрат любого числа геометрической прогрессии находится при помощи сложения квадратов двух других любых чисел в заданном ряду, если они равноудалены от этого элемента.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , где t - расстояние между этими числами.
- Элементы различаются в q раз.
- Логарифмы элементов прогрессии так же образуют прогрессию, но уже арифметическую, то есть каждый из них больше предыдущего на определенное число.
Примеры некоторых классических задач
Чтобы лучше понять, что такое геометрическая прогрессия, примеры с решением для 9 класса могут помочь.
- Условия: a 1 = 3, a 3 = 48. Найти q .
Решение: каждый последующий элемент больше предыдущего в q раз. Необходимо выразить одни элементы через другие с помощью знаменателя.
Следовательно, a 3 = q 2 · a 1
При подстановке q = 4
- Условия: a 2 = 6, a 3 = 12. Рассчитать S 6 .
Решение: Для этого достаточно найти q, первый элемент и подставить в формулу.
a 3 = q · a 2 , следовательно, q = 2
a 2 = q · a 1 , поэтому a 1 = 3
S 6 = 189
- · a 1 = 10, q = -2. Найти четвертый элемент прогрессии.
Решение: для этого достаточно выразить четвертый элемент через первый и через знаменатель.
a 4 = q 3 · a 1 = -80
Пример применения:
- Клиент банка совершил вклад на сумму 10000 рублей, по условиям которого каждый год клиенту к основной сумме будут прибавляться 6% от нее же. Сколько средств будет на счету через 4 года?
Решение: Изначальная сумма равна 10 тысячам рублей. Значит, через год после вложения на счету будет сумма, равная 10000 + 10000· 0.06 = 10000 · 1.06
Соответственно, сумма на счете еще через один год будет выражаться следующим образом:
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
То есть с каждым годом сумма увеличивается в 1.06 раз. Значит, чтобы найти количество средств на счете через 4 года, достаточно найти четвертый элемент прогрессии, которая задана первым элементом, равным 10 тысячам, и знаменателем, равным 1.06.
S = 1.06·1.06·1.06·1.06·10000 = 12625
Примеры задач на вычисление суммы:
В различных задачах используется геометрическая прогрессия. Пример на нахождение суммы может быть задан следующим образом:
a 1 = 4, q = 2, рассчитать S 5 .
Решение: все необходимые для расчета данные известны, нужно просто подставить их в формулу.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Рассчитать сумму первых шести элементов.
Решение:
В геом. прогрессии каждый следующий элемент больше предыдущего в q раз, то есть для вычисления суммы необходимо знать элемент a 1 и знаменатель q .
a 2 · q = a 3
q = 3
Аналогичным образом требуется найти a 1 , зная a 2 и q .
a 1 · q = a 2
a 1 = 2
S 6 = 728.
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый член (начиная со второго) получается из предыдущего путем умножения его на одного и того же число q ≠ 0. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно задать ее первый член a 1 и знаменатель q.
Геометрическая прогрессия возрастает при q > 1, убывает при 0 < q < 1.
Примеры геометрических прогрессий:
1. 2, 4, 8, 16… . Здесь первый член равен 1, а знаменатель равен 2.
81, 27, 9, 3, 1, 1/3… . Здесь первый член равен 81, а знаменатель равен 1/3.
Итак, первый член прогрессии равен a 1 , второй - a 1 q, третий a 1 q*q = a 1 q 2 , четвертый a 1 q 2 *q = a 1 q 3 …. Таким образом, n-й член прогрессии вычисляется по формуле a n = a 1 q n-1 .
Утверждение: Сумма n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле
S n = a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...+a 1 q n-1 .
Умножим на, получим:
S n q = a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...a 1 q n .
Теперь вычтем S n q из S n .
Примеры задач на геометрическую прогрессию.
1. Найдите сумму первых 10 членов геометрической прогрессии, если известно, что a 1 = 3, q = 4.
2. За одну минуту биомасса увеличивается в 2 раза. Какой вес она будет иметь через 5 минут, если сейчас ее вес 3 кг.
Мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой a 1 = 3, а q = 2 Чтобы решить задачу, нам нужно найти шестой член этой прогрессии.
А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске?
Легенда о зернах на шахматной доске
Когда создатель шахмат (древнеиндийский математик по имени Сесса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за второе - два, за третье - четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно.С изумлением внимал царь словам старца.
Назови же мне это чудовищное число, – сказал он.
18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о повелитель!
Если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1,200 триллионов тонн, что превышает весь объем урожая пшеницы, собранный за всю историю человечества!
Определение
Геометрическая прогрессия - последовательность чисел (членов прогрессии ) , в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии ):
Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая ()
Геометрическая прогрессия
Знаменатель геометрической прогрессии
Характеристическое свойство геометрической прогрессии
Для title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="15" width="48" style="vertical-align: -1px;">
Последовательность является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.
В частности, для геометрической прогрессии с положительными членами, верно:
Формула n-го члена геометрической прогрессии
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
(если же , то )
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
При , геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей . Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число и
Примеры
Пример 1 .
Последовательность {} –геометрическая прогрессия.
Найдите , если ,
Решение:
Согласно формуле имеем:
Приметр 2.
Найдите знаменатель геометрической прогрессии {}, в которой
От Masterweb
22.09.2018 22:00Геометрическая прогрессия, наряду с арифметической, является важным числовым рядом, который изучается в школьном курсе алгебры в 9 классе. В данной статье рассмотрим знаменатель геометрической прогрессии, и то, как его значение влияет на ее свойства.
Определение прогрессии геометрической
Для начала приведем определение этого числового ряда. Прогрессией геометрической называют такой ряд рациональных чисел, который формируется путем последовательного умножения его первого элемента на постоянное число, носящее название знаменателя.
Например, числа в ряду 3, 6, 12, 24, ... - это прогрессия геометрическая, поскольку если умножить 3 (первый элемент) на 2, то получим 6. Если 6 умножить на 2, то получим 12, и так далее.
Члены рассматриваемой последовательности принято обозначать символом ai, где i - это целое число, указывающее на номер элемента в ряду.
Приведенное выше определение прогрессии можно записать на языке математики следующим образом: an = bn-1 * a1, где b - знаменатель. Проверить эту формулу легко: если n = 1, то b1-1 = 1, и мы получаем a1 = a1. Если n = 2, тогда an = b * a1, и мы снова приходим к определению рассматриваемого ряда чисел. Аналогичные рассуждения можно продолжить для больших значений n.
Знаменатель прогрессии геометрической
Число b полностью определяет, какой характер будет носить весь числовой ряд. Знаменатель b может быть положительный, отрицательный, а также иметь значение больше единицы или меньше. Все перечисленные варианты приводят к разным последовательностям:
- b > 1. Имеет место возрастающий ряд рациональных чисел. Например, 1, 2, 4, 8, ... Если элемент a1 будет отрицательным, тогда вся последовательность будет возрастать только по модулю, но убывать с учетом знака чисел.
- b = 1. Часто такой случай не называют прогрессией, поскольку имеет место обычный ряд одинаковых рациональных чисел. Например, -4, -4, -4.
Формула для суммы
Перед тем как перейти к рассмотрению конкретных задач с использованием знаменателя рассматриваемого вида прогрессии, следует привести важную формулу для суммы ее первых n элементов. Формула имеет вид: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Получить это выражение можно самостоятельно, если рассмотреть рекурсивную последовательность членов прогрессии. Также заметим, что в приведенной формуле достаточно знать только первый элемент и знаменатель, чтобы найти сумму произвольного числа членов.
Бесконечно убывающая последовательность
Выше было дано пояснение, что она собой представляет. Теперь, зная формулу для Sn, применим ее к этому числовому ряду. Так как любое число, модуль которого не превышает 1, при возведении в большие степени стремится к нулю, то есть b∞ => 0, если -1
Поскольку разность (1 - b) всегда будет положительной, независимо от значения знаменателя, то знак суммы убывающей бесконечно прогрессии геометрической S∞ однозначно определяется знаком ее первого элемента a1.
Теперь рассмотрим несколько задач, где покажем, как применять полученные знания на конкретных числах.
Задача № 1. Вычисление неизвестных элементов прогрессии и суммы
Дана прогрессия геометрическая, знаменатель прогрессии 2, а ее первый элемент 3. Чему будут равны ее 7-й и 10-й члены, и какова сумма ее семи начальных элементов?
Условие задачи составлено достаточно просто и предполагает непосредственное использование вышеназванных формул. Итак, для вычисления элемента с номером n используем выражение an = bn-1 * a1. Для 7-го элемента имеем: a7 = b6 * a1, подставляя известные данные, получаем: a7 = 26 * 3 = 192. Аналогичным образом поступаем для 10-го члена: a10 = 29 * 3 = 1536.
Воспользуемся известной формулой для суммы и определим эту величину для 7-ми первых элементов ряда. Имеем: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Задача № 2. Определение суммы произвольных элементов прогрессии
Пусть -2 равен знаменатель прогрессии в геометрической прогрессии bn-1 * 4, где n - целое число. Необходимо определить сумму с 5-го по 10-й элемент этого ряда включительно.
Поставленная проблема не может быть решена непосредственно с использованием известных формул. Решить ее можно 2-мя различными методами. Для полноты изложения темы приведем оба.
Метод 1. Идея его проста: необходимо рассчитать две соответствующие суммы первых членов, а затем вычесть из одной другую. Вычисляем меньшую сумму: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Теперь вычисляем большую сумму: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Отметим, что в последнем выражении суммировались только 4 слагаемых, поскольку 5-е уже входит в сумму, которую требуется вычислить по условию задачи. Наконец, берем разницу: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Метод 2. Перед тем, как подставлять цифры и считать, можно получить формулу для суммы между членами m и n рассматриваемого ряда. Поступаем абсолютно так же, как в методе 1, только работаем сначала с символьным представлением суммы. Имеем: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). В полученное выражение можно подставлять известные числа и вычислять конечный результат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Задача № 3. Чему равен знаменатель?
Пусть a1 = 2, найдите знаменатель прогрессии геометрической, при условии, что ее бесконечная сумма составляет 3, и известно, что это убывающий ряд чисел.
По условию задачи нетрудно догадаться, какой формулой следует пользоваться для ее решения. Конечно же, для суммы прогрессии бесконечно убывающей. Имеем: S∞ = a1 / (1 - b). Откуда выражаем знаменатель: b = 1 - a1 / S∞. Осталось подставить известные значения и получить требуемое число: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можно качественно проверить этот результат, если вспомнить, что для этого типа последовательности модуль b не должен выходить за пределы 1. Как видно, |-1 / 3|
Задача № 4. Восстановление ряда чисел
Пусть даны 2 элемента числового ряда, например, 5-й равен 30 и 10-й равен 60. Необходимо по этим данным восстановить весь ряд, зная, что он удовлетворяет свойствам прогрессии геометрической.
Чтобы решить задачу, необходимо для начала записать для каждого известного члена соответствующее выражение. Имеем: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Теперь разделим второе выражение на первое, получим: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Отсюда определяем знаменатель, взяв корень пятой степени от отношения известных из условия задачи членов, b = 1,148698. Полученное число подставляем в одно из выражений для известного элемента, получаем: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
- Работника хотят перевести в другое структурное подразделение в этой же местности без изменения трудовой функции, должности и размера оплаты труда
- На каких основаниях предоставляется студенту академический отпуск
- Денежная единица беларуси
- Выписка онлайн бпс-сбербанк Бпс сбербанк яндекс нашлось 38 тыс результатов